Beschleunigung in einer Elektronenkanone

Beschleunigung von Elektronen in der Elektronenkanone
Beschleunigungszone
Die Beschleunigungsspannung erzeugt ein elektrisches Feld:$$E=\frac{U_{\text b}}{\text d}$$In diesem wirkt auf die negativ geladenen Elektronen eine Kraft:$$F_{\text{el}}=E\cdot e = \frac{U_{\text b}\cdot e}{\text d}$$So wird zwischen Kathode und Anode Arbeit am Elektron verrichtet:$$W_{\text{el}}=F_{\text{el}}\cdot \text {d} = \frac{U_{\text b}\cdot e\cdot \text d}{\text d}= U_{\text b}\cdot e$$Diese erhöht die kinetische Energie des Elektrons.
Für die kinetische Energie Ekin eines Elektrons gilt:$$E_{\text {kin}}= \frac {1}{2}mv^2$$Gleichsetzen mit verrichteter Arbeit (Energieerhaltung) liefert:$$\frac {1}{2}mv^2=e \cdot U_{\text b}$$Für die Endgeschwindigkeit ergibt sich so:$$\bbox[5px,border:2px solid red] {v_{\text{end}}=\sqrt{2\cdot \frac{e}{m}\cdot U_{\text b}}}$$