Beschleunigung in einer Elektronenkanone

Bei Beschleunigungsspannungen ab ca. 2,7 kV ist es oft notwendig die Geschwindigkeit der Elektronen relativistisch zu betrachten, da ihre Endgeschwindigkeit hier etwa 10 % der Lichtgeschwindigkeit erreicht.
Relativistisch errechnet sich die Fluggeschwindigkeit der Elektronen wie folgt:
Aufbau Elektronenkanone
Die kinetische Energie ist Gesamtenergie abzüglich Ruheenergie:$$E_{\text{Kin}}=m_{\text{rel}}\cdot c^2 - m_{e}\cdot c^2$$ Gleichsetzen mit der verrichteten Arbeit des E-Feldes:$$U_{\text b}\cdot e = m_{\text{rel}}\cdot c^2 - m_{e}\cdot c^2$$$m_{\text{rel}}$ und $m_{e}$ sind über den Lorentzfaktor $\gamma$ miteinander verknüpft:$$m_{\text{rel}}=\gamma \cdot m_{e} = \frac{m_{e}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ Einsetzen und ausklammern von sowie teilen durch $m_{e}\cdot c^2$ liefert:$$\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1$$ Addieren von 1 und quadrieren führt zu:$$\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2 = \frac {1}{1-\frac{v^2}{c^2}}$$Kehrwerte bilden, mit -1 multiplizieren und 1 addieren liefert:$$\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}$$Multiplikation mit $c^2$ und ziehen der Wurzel führt zu:$${v_{\text{relativistisch}}=c\cdot \sqrt{1-\frac{1}{\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}}}$$