Je größer der Spulenstrom I bzw. das Magnetfeld B, desto kleiner sind Schattenbild und bestrahlte Fläche.
Je größer die Beschleunigungsspannung Ub bzw. die Elektronengeschwindigkeit v0, desto Schattenbild und bestrahlte Fläche.
Bei bestimmten Kombinationen aus Spulenstrom I bzw. Magnetfeld B und Beschleunigungsspannung Ub ist auf dem Schirm nur ein grüner Punkt zu sehen.
Erklärung
Aus einer Punktquelle P (der Elektronenkanone) werden divergente Elektronenstrahlen in ein homogenes, axiales Magnetfeld gebracht. Abhängig vom Divergenzwinkel $\delta$ besitzen die Elektronen daher eine Geschwindigkeitskomponente $v_{\perp}$ senkrecht und eine Komponente $v_{\parallel}$ parallel zum Magnetfeld B. Diese lassen sich aus der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ berechnen durch
$$\begin{equation}v_{\parallel}=v_0\cdot \cos(\delta)\qquad \text{bzw.} \qquad v_{\perp}=v_0\cdot \sin(\delta).\end{equation}$$
Bewegung senkrecht zum Magnetfeld
Wieder gilt für den Radius der Schraubenbahn:
$$\begin{equation}r=\frac{v_{\perp}\cdot m_e}{e\cdot B}\end{equation}$$
Mit $v_{\perp}=\omega\cdot r$ ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit $\omega$
$$\begin{equation}\omega=\frac{e\cdot B}{m_e}\end{equation}$$
und mit $\omega=\frac{2\pi}{T}$ folgt für die Umlaufdauer T der Elektronen
$$\begin{equation}T=\frac{2\pi\cdot m_e}{e\cdot B}.\end{equation}$$
Die Umlaufdauer T ist also unabhängig von der Geschwindigkeit $v_0$ und dem Winkel $\delta$. Damit ist T für alle Elektronen gleich und sie schneiden nach T wieder die Feldlinie, die sie beim Eintritt in das Magnetfeld geschnitten haben.
Bewegung parallel zum Magnetfeld
Hier wirken keine Kräfte auf die Elektronen. Sie bewegen sich geradlinig-gleichförmig und die Ganghöhe h der Schraubenbahn ergibt sich aus:
$$\begin{equation}h=v_{\parallel}\cdot T\end{equation}$$
Da $v_{\parallel}$ vom Winkel $\delta$ abhängt, hängt die Ganghöhe h ebenfalls von $\delta$ ab. So ist für Elektronen mit unterschiedlichem Winkel $\delta$ der Schnittpunkt Px mit der Ausgangsfeldlinie verschieden weit vom Eintrittspunkt P0 entfernt.
Für $\delta<10°$ ist dieser Einfluss aber gering und es kann mithilfe der Kleinwinkelnäherung $v_{\parallel}=v_0$ für alle Elektronen angenommen werden. Dann befinden sich die Schnittpunkte Px aller Elektronen im gleichen Abstand h von P0. Die Elektronen werden also auf einen Punkt PFokus fokussiert. Der Abstand zwischen P0 und PFokus entspricht dabei der Ganghöhe h und wird berechnet mittels
$$\begin{equation}h=v_{0}\cdot T =\frac{2\pi\cdot m_e\cdot v_0}{e\cdot B}\end{equation}$$
Anwendung auf das Experiment
Durch geeignete Wahl von Ub und I bzw. B können die Elektronen nach (6) auf einen beliebigen Punkt fokussiert werden. Um sie im Experiment auf den Schirm zu fokussieren, muss h dem Abstand zwischen Elektronenkanone und Schirm entsprechen. Dieser ist bei der verwendeten Röhre hex=0,17m. Als Bedingung für die Fokussierung auf dem Schirm folgt:
$$\frac{v_0}{B}=\frac{h_{ex} \cdot e}{2\pi\cdot m_e}$$
Mit $v_0=\sqrt{2\cdot\frac{e}{m_e}\cdot U_{\text b}}$ und dem Magnetfeld der verwendeten Helmholtzspule mit $B=7{,}48\cdot10^{-4}\frac{\text T}{\text A}\cdot I$ folgt:
$$\frac{\sqrt{U_{\text b}}}{I}=\frac{7{,}48\cdot 10^{-4}\cdot h_{ex}\cdot \sqrt{e}}{2\cdot\pi\cdot\sqrt{2\cdot m_e}}\approx 35{,}3\cdot h_{ex}\approx6{,}0$$ Dieses Ergebnis kannst du nun mithilfe des Experimentes Überprüfen.
Ausbreitung
