Alte Abituraufgaben mit ausführlichen Lösungen
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Beugung am Wolframkristall aus Abi 2001 in BY
(Quelle: ISB Bayern)

Beugung am Wolframkristall

In einer evakuierten Röhre trifft ein fein gebündelter Strahl von Elektronen der kinetischen Energie $150{\rm{keV}}$ senkrecht auf eine dünne Schicht aus polykristallinem Wolfram. Auf einem im Abstand $20{,}0{\rm{cm}}$ dahinter stehenden Schirm beobachtet man einen zentralen Leuchtpunkt und als Beugungsfiguren mehrere Kreise. Der Durchmesser des innersten Kreises beträgt $5{,}3{\rm{mm}}$.
  1. Berechne relativistisch die den Elektronen zugeordnete de BROGLIE-Wellenlänge $\lambda $. (7 BE)
  2. Berechne den Netzebenenabstand, der aus den gegebenen Daten resultiert. (6 BE)
  3. Auf dem Leuchtschirm entstehen auch Kreise, die sich nicht als Beugungsfiguren höherer Ordnung deuten lassen. Erkläre deren Zustandekommen. (3 BE)
Lösung

Debye-Scherrer-Streuung am Polykristall Abi 2010 in BY
(Quelle: ISB Bayern)

Debye-Scherrer-Streuung am Polykristall

Materiewellen wurden 1924 postuliert und kurze Zeit später mit Versuchen wie dem DEBYE-SCHERRER-Verfahren nachgewiesen. In einer Vakuumröhre treffen Elektronen, die aus einem Glühdraht (Heizspannung ${U_{\rm{H}}}$) ausgetreten sind und durch die Spannung ${U_{\rm{B}}}$ beschleunigt wurden, auf ein Pulver aus Graphitkristallen. Dahinter werden sie auf einem Leuchtschirm sichtbar gemacht. Typischerweise beobachtet man um einen hellen Mittelpunkt konzentrische, helle Kreisringe.
  1. Leite anhand geeigneter Skizzen den Zusammenhang zwischen der Wellenlänge einer auftreffenden Welle und ihren möglichen Ablenkwinkeln bei der Beugung am Einkristall her (BRAGG-Bedingung).
    Erkläre damit das Zustandekommen des beobachteten Bildes.

  2. Erläutere, wie man experimentell nachweisen kann, dass die gezeigten Erscheinungen tatsächlich von Elektronen erzeugt werden und nicht von Röntgenstrahlung, die beim Auftreffen von Elektronen auf das Pulver entstanden sein könnte.
    Bei den konzentrischen Kreisen handelt es sich um Beugungen an zwei verschiedenen Netzebenen des Graphits mit den Netzebenenabständen ${d_1} = 1,23 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}$ und ${d_2} = 2,13 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}$. Der kreisförmige Leuchtschirm (Radius $R = 4,7{\rm{cm}}$) hat von der Graphitpulverschicht den Abstand $L = 13,5{\rm{cm}}$. Die Beschleunigungsspannung ${U_{\rm{B}}}$ ist auf $4,0{\rm{kV}}$ eingestellt.

  3. Berechne relativistisch die de BROGLIE-Wellenlänge $\lambda $ eines anfangs ruhenden Elektrons, welches die Beschleunigungsspannung ${U_{\rm{B}}}$ durchlaufen hat. [zur Kontrolle: $\lambda  = 1,9 \cdot {10^{ - 11}}{\rm{m}}$]

  4. Bestimme, wie viele Kreise bei diesem Versuch theoretisch auf dem Leuchtschirm zu erwarten sind.

  5. Beschreibe und erkläre, wie sich das Bild auf dem Schirm verändert, wenn man zum einen die Spannung ${U_{\rm{H}}}$ bzw. zum anderen die Spannung ${U_{\rm{B}}}$ vergrößert.

  6. Zeige für den Fall kleiner Beschleunigungsspannungen (nichtrelativistischer Ansatz), dass für den Zusammenhang zwischen der Beschleunigungsspannung ${U_{\rm{B}}}$ und der de BROGLIE-Wellenlänge $\lambda $ gilt: $$U_{\rm{B}} = \frac{h^2}{2\cdot e \cdot m \cdot \lambda^2}$$
    Bestimme damit die kleinstmöglich Beschleunigungsspannung ${U_{\rm{B}}}$, ab der theoretisch überhaupt Interferenzkreise auf dem Leuchtschirm zu erwarten sind.
Lösung

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