Versuch zur experimentellen Bestätigung de Broglies

Mithilfe der Elektronenbeugungsröhre soll nun experimentell bestätigt werden, dass de Broglies Vermutung korrekt ist und massebehaftete Teilchen die de-Broglie Wellenlänge $\lambda_{\text{de Broglie}} =\frac {h}{m_\text e\cdot v_\text e}$ besitzen.
Dazu müssen wir zeigen, dass die im qualitativen Experiment festgestellten Kreisringe Interferenzmaxima der Elektronen durch Beugung an der Graphitschicht sind.
Interferenzmaxima treten auf, wenn die Bragg-Bedingung $$\begin{equation}\text n\cdot \lambda=2\cdot d\cdot \sin(\theta)\end{equation}$$erfüllt ist.
Weiter spielt die Geometrie der Röhre eine wichtige Rolle.
Aufbau der Elektronenbeugungsröhre mit auftretenden BeugungsmaximaGeometrie der Elektronenbeugungsröhre zur Berechnung des Beugungswinkels
Wobei L = Abstand Graphit zu Schirm, R = Radius der Glaskugel und r = Radius des Rings auf dem Schirm.
Hieraus lässt sich für den Winkel $\theta$ folgende Beziehung aufstellen: $$\begin{equation}\tan(2\,\theta)=\frac{r}{l_1+l_2}\end{equation}$$Mit $l_1=L-R$ und $l_2=\sqrt{R^2-r^2}$ folgt: $$\begin{equation}\tan(2\,\theta)=\frac{r}{L-R+\sqrt{R^2-r^2}}\quad\Rightarrow\quad\theta=\frac{1}{2}\cdot \tan^{-1}\left(\frac{r}{L-R+\sqrt{R^2-r^2}}\right)\end{equation}$$ Setzt man diese nun in die Bragg-Bedingung (1) ein und geht davon aus, dass der innere Ring ein Beugungsmaximum 1. Ordnung ist, also n=1 gilt, folgt für die Wellenlänge $\lambda$:$$\begin{equation}\lambda=2\cdot d\cdot \sin\left(\frac{1}{2}\cdot \tan^{-1}\left(\frac{r}{L-R+\sqrt{R^2-r^2}}\right)\right)\end{equation}$$wobei $d=2{,}13\cdot 10^{-10}\,\text m$ ein Netzebenenabstand von Graphit ist. Die Größen L und R sind röhrenspezifisch und können abgemessen werden. Bei der hier verwendeten Röhre ist L = 12,7 cm und R = 6,35 cm.
Im Experiment ist nun zu zeigen, dass die mit (4) berechnete Wellenlänge der de-Broglie-Wellenlänge $\lambda_{\text{de Broglie}} =\frac {h}{m_\text e\cdot v_\text e}$ entspricht.