De-Broglie-Wellenlänge von schnellen Elektronen

Für hochenergetische Elektronen ist die klassische Rechnung mittels $\lambda_{\text{de Broglie}} =\frac{h}{p}=\frac {h}{\sqrt{2\cdot m_\text e \cdot e\cdot U_{\text b}}}$ nicht mehr zulässig. Es müssen relativistisch Effekte berücksichtigt werden. Daher gilt $$\lambda_{\text{de Broglie}} = \frac {h}{p}=\frac{h\cdot c}{\sqrt{\left(e\cdot U_\text{b}\right)^2+2\cdot e\cdot U_\text{b}\cdot m_\text{e}\cdot c^2}}$$
Beispielhaft werden in der Tabelle die de-Broglie-Wellenlänge mittels klassischer und relativistischer Berechnung verglichen:
($h=6{,}6\cdot 10^{-34}\,\text J\cdot \text s$, $c=3\cdot 10^8\,\rm{\frac{m}{s}}$, $ m_{\text e}=9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$, $e=1{,}6\cdot 10^{-19}\,{\text C}$)
Beschleunigungsspannung Ub$\lambda_{\text {de Broglie}}$ (klassisch)$\lambda_{\text {de Broglie}}$ (relativistisch)relativer Fehler
1000 V$3{,}8677\cdot 10^{-11}\,\text m $$3{,}8658\cdot 10^{-11}\,\text m $0,05%
10000 V$1{,}2231\cdot 10^{-11}\,\text m $$1{,}2171\cdot 10^{-11}\,\text m $0,49%
50000 V$5{,}4697\cdot 10^{-12}\,\text m $$5{,}3408\cdot 10^{-12}\,\text m $2,41%
V${}$${}$
Die folgende Grafik vergleicht die beiden Berechnungen und zeigt den relativen Fehlern in Abhängigkeit der Beschleunigungsspannung. Aufgrund des geringen Fehlers von etwa 0,58% bei einer Beschleunigungsspannung von 12 kV kann bei diesem Experiment weiterhin klassisch gerechnet werden.
Vergleich zwischen der de-Broglie-Wellenlänge in  klassischer und relativistischer Berechnung