Accélération dans le canon à électrons

Si la tension d'accélération est supérieure à 2,7 kV, il est recommandé d'opter pour le calcul relativiste car la vitesse des électrons atteint 10% de la vitesse de la lumière.
Calcul relativiste de la vitesse des électrons:
Aufbau Elektronenkanone
L'énergie cinétique est égale à l'énergie totale moins l'énergie restante:\[E_{\text{Kin}}=m_{\text{rel}}\cdot c^2 - m_{e}\cdot c^2\] Cette égalité avec le travail donne:$$U_{\text b}\cdot e = m_{\text{rel}}\cdot c^2 - m_{e}\cdot c^2$$$m_{\text{rel}}$ est lié à $m_{e}$ par le facteur de Lorentz $\gamma$:\[m_{\text{rel}}=\gamma \cdot m_{e} = \frac{m_{e}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\quad (2)\] Remplacer, factoriser et diviser par $m_{e}\cdot c^2$ donne:$$\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1$$ ensuite ajouter 1 et mettre au carré:$$\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2 = \frac {1}{1-\frac{v^2}{c^2}}$$Inverser l'équation, multiplier par -1 und ajouter 1 nous donne:$$\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}$$Multiplier par $c^2$ et tirer la racine carrée nous donne enfin:$${v_{\text{relativiste}}=c\cdot \sqrt{1-\frac{1}{\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}}}$$