Berechnung von wichtigen Größen:

Bei welcher Beschleunigungsspannung beträgt die Geschwindigkeit der Elektronen 10% der Lichtgeschwindigkeit?$$v_{\text{end}}=0.1\cdot c = \sqrt{2\cdot \frac{e}{m_e}\cdot U_{\text b}}$$Quadrieren und auflösen nach $U_{\text b}$$$U_{\text b}=\frac {0.01\cdot c^2 \cdot m_e}{2\cdot {e}}$$Einsetzen von $c=3\cdot 10^8~\frac {\text m}{\text s}$, $m_e=9.1\cdot 10^{-31}~\text{kg}$ und $\text e=1.60\cdot 10^{-19} ~\text C$ liefert:$$\bbox[5px,border:2px solid red]{U_{\text b}=2559~\text V}$$Bei einer Beschleunigungsspannung von ca. 2543 V erreichen Elektronen 10% der Lichtgeschwindigkeit. Treten höhere Beschleunigungsspannungen auf, so muss in der Regel relativistisch gerechnet werden.

Abweichung zwischen klassischer und relativistischer Rechnung bei ${U_{\text b}=2559~\text V}$:

$${v_{\text{klassisch}}=0.1\cdot \text c}$$$${v_{\text{relativistisch}}=c\cdot \sqrt{1-\frac{1}{\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}}}\approx 0.09962 \cdot c$$absolute Abweichung: $$0.1 \cdot c - 0.09962 \cdot c = 0.00038 \cdot c \approx 114000 \frac{\text m}{\text s} = 410400 \frac {\text{km}}{\text h}$$ relative Abweichung: $$1-\frac{0.09962}{0.1}=1-0.9962=0.0038=0.38 \% $$

Mit steigender Beschleunigungsspannung nimmt diese Abweichung allerdings stark zu:

Vergleich der Geschwindigkeiten von Elektronen bei klassischer und relativistischer Rechnung