Beschleunigung in einer Elektronenkanone

Als Faustregel sagt man, dass relativistische Effekte ab Geschwindigkeiten von 10 % der Lichtgeschwindigkeit berücksichtigt werden sollten. Dies ist bei Elektronen schon bei Beschleunigungsspannungen ab ca. 2,6 kV der Fall.
Relativistisch errechnest du die Fluggeschwindigkeit der Elektronen wie folgt:
Aufbau Elektronenkanone
Die kinetische Energie ist Gesamtenergie abzüglich Ruheenergie:\[E_{\text{Kin}}=m_{\text{rel}}\cdot c^2 - m_{e}\cdot c^2\] Gleichsetzen von kinetischer Energie mit verrichteter Arbeit \(W_{\rm{el}}=U_{\rm{b}}\cdot e\) des E-Feldes:\[ U_{\text b}\cdot e = m_{\text{rel}}\cdot c^2 - m_{e}\cdot c^2 \quad(1) \]Die Massen \(m_{\text{rel}}\) und \(m_{e}\) sind über den Lorentzfaktor \(\gamma\) miteinander verknüpft:\[m_{\text{rel}}=\gamma \cdot m_{e} = \frac{m_{e}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\quad (2)\] Einsetzen von (2) in (1), ausklammern von und teilen durch \(m_{e}\cdot c^2\) liefert:\[\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\] Addieren von 1 und quadrieren führt zu:\[\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2 = \frac {1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\]Kehrwerte bilden, mit -1 multiplizieren und 1 addieren liefert:\[\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}\]Multiplikation mit \(c^2\) und ziehen der Wurzel führt zu:\[\bbox[5px, border: 2px solid red]{{v_{\text{relativistisch}}=c\cdot \sqrt{1-\frac{1}{\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}}}}\]