Aufgabe
In einer evakuierten Röhre trifft ein fein gebündelter Strahl von Elektronen der kinetischen Energie $150\,{\rm{keV}}$ senkrecht auf eine dünne Schicht aus polykristallinem Wolfram. Auf einem im Abstand $20{,}0\,{\rm{cm}}$ dahinter stehenden Schirm beobachtet man einen zentralen Leuchtpunkt und als Beugungsfiguren mehrere Kreise. Der Durchmesser des innersten Kreises beträgt $5{,}3\,{\rm{mm}}$.
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Berechne relativistisch die den Elektronen zugeordnete de BROGLIE-Wellenlänge $\lambda $. (7 BE)
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Berechne den Netzebenenabstand, der aus den gegebenen Daten resultiert. (6 BE)
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Auf dem Leuchtschirm entstehen auch Kreise, die sich nicht als Beugungsfiguren höherer Ordnung deuten lassen.
Erkläre deren Zustandekommen. (3 BE)
Lösungen:
- Benutzt wird die Formel von de BROGLIE $$\lambda = \frac{h}{p}\quad(1)$$ sowie die Energie-Impuls-Beziehung $${E^2} = {E_0}^2 + {p^2} \cdot {c^2} \Leftrightarrow {p^2} = \frac{{{E^2} - {E_0}^2}}{{{c^2}}} \Rightarrow p = \frac{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }}{c}\quad(2)$$ Einsetzen von $(2)$ in $(1)$ ergibt $$\lambda = \frac{h}{{\frac{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }}{c}}} = \frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }}$$ Einsetzen der gegebenen Werte liefert $$\lambda = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{\sqrt {{{\left( {661 \cdot {{10}^3} \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}} \right)}^2} - {{\left( {511 \cdot {{10}^3} \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}} \right)}^2}} }} = 2{,}96 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{m}}$$
- Die Kreise mit dem Radius $2{,}65\,{\rm{mm}}$ kommen durch BRAGG-Streuung am Wolfram-Kristall zustande. Die Punkte auf der Kreislinie sind um den doppelten BRAGG-Winkel gebeugt. Es gilt $$\tan \left( {2 \cdot \vartheta } \right) = \frac{r}{a} \Rightarrow \vartheta = \frac{1}{2} \cdot \arctan \left( {\frac{r}{a}} \right) \Rightarrow \vartheta = \frac{1}{2} \cdot \arctan \left( {\frac{{5{,}3\,\rm{mm}}}{{2 \cdot 200\,\rm{mm}}}} \right) = 0{,}38^\circ $$ und damit $$\lambda = 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta \right) \Leftrightarrow d = \frac{\lambda }{{2 \cdot \sin \left( \vartheta \right)}} \Rightarrow d = \frac{{2{,}96 \cdot {{10}^{ - 12}}\,{\rm{m}}}}{{2 \cdot \sin \left( {0{,}38^\circ } \right)}} = 2{,}2 \cdot {10^{ - 10}}\,{\rm{m}}$$
- Im Regelfall haben Kristalle mehrere Netzebenenabstände. Für jeden Netzebenenabstand gibt es ein Beugungsmaximum 1. Ordnung. Deshalb kommen meist mehrere konzentrische Kreise vor.